Das Kelly-Kriterium: wie sich die optimale Diversifikation bestimmen lässt

22. Juli 2013 -  ,  -  Stefan Mohr

Jedes Investment ist letztendlich eine Wette auf die Zukunft eines Unternehmens – egal wie gut die Analyse, der Ausgang ist stets ungewiss und ein Verlust nicht ausgeschlossen. Wer Wetten mit einem positiven Erwartungswert eingeht, oder anders gesagt Aktien kauft, deren Chancen die Risiken überwiegen, der wird auf Dauer gut abschneiden. Aber da theoretisch jedes Investment in einem Verlust enden kann, wird wohl niemand den Vorschlag machen, alles auf eine Karte zu setzen. Aber auch übermäßige Diversifikation ist keine gute Idee. Schließlich fügt man dann den besten Wetten weniger gute hinzu. Wo ist das richtige Maß?

Es gibt dazu einen interessanten, mathematisch begründbaren Ansatz: Das Kelly-Kriterium. Dieses Kriterium stammt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und beschreibt, welchen Teil seines Vermögens man auf eine Wette setzen sollte, um langfristig seinen Ertrag zu optimieren.

Kelly-Kriterium bei 2 möglichen Szenarien

Das Kelly-Kriterium für einen einfachen Fall mit zwei möglichen Ausgängen lautet folgendermaßen:

f = p/a – q/b

Dabei ist:
f – der Depotanteil, den man optimalerweise investiert
p – die Wahrscheinlichkeit für das positive Szenario
q – die Wahrscheinlichkeit für das negative Szenario
a – relativer Verlust beim negativen Szenario
b – relativer Gewinn beim positiven Szenario

einfaches Beispiel

Nehmen wir z.B. mal die Aktie von China Specialty Glass, aktueller Kurs etwa 2,20€. Wenn bei dem Unternehmen alles stimmt und sich die Geschäftslage nicht völlig desaströs entwickelt, dürfte die Aktie wenigstens 10€ wert sein. Auf der anderen Seite besteht natürlich auch das Risiko, dass das Geschäftsmodell wegen neuer Konkurrenz, staatlichen Regulierungen oder was auch immer völlig zusammenbricht oder die Unternehmenszahlen gefälscht sind, das Management die Aktionäre betrügt etc. Sagen wir, dann ist die Aktie 0,20€ wert.
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für diese Szenarien jeweils? Extrem schwer einzuschätzen, aber nehmen wir mal an die Chancen stehen 50:50. Im Mittel hat die Aktie dann also folgenden Wert W:

W = 0,5 × 10€ + 0,5 × 0,2€ = 5,10€

Bei einem Kurs von 2,20€ eine sehr gute Wette wenn die Annahmen stimmen! Aber man hat trotz allem ein fast-Totalverlustrisiko von 50%, allzuviel sollte man darauf also nicht setzen.
Was sagt das Kelly-Kriterium zu der Frage, wie viel man setzen sollte?

f = p/a – q/b = 0,5/(1-0,2€/2,2€) – 0,5/(10€/2,2€-1) = 0,5/0,909 – 0,5/3,55 = 40,9%

Das Kelly-Kriterium sagt also, ich soll basierend auf meiner Einschätzung, 40,9% meines Vermögens in China Specialty Glass stecken!
Erste Reaktion: das ist viel zu viel, das kann nicht stimmen, oder?

Sollte man als Investor auf Kelly hören? – Einschränkungen und Empfehlungen

Um es gleich vorneweg zu sagen: doch, es stimmt. Wenn meine Annahmen über Eintrittswahrscheinlichkeiten und dann vorliegenden Unternehmenswert stimmen, dann sollte man 41% seines Vermögens in China Specialty Glass stecken. Vorrausgesetzt, alle anderen Investmentalternativen sind deutlich schlechter und einziges Ziel ist es, den langfristigen Ertrag zu optimieren.

Es gibt allerdings drei Gründe, die dafür sprechen, weniger zu investieren, als Kelly vorschlägt.

Der erste ist, dass man damit rechnen kann, dass Menschen bei Unternehmen in die sie investieren möchten, tendenziell überoptimistisch sind. Weniger als Kelly zu setzen, könnte also zumindest für einen gewissen Ausgleich sorgen. Auch wenn das leider nichts an den Konsequenzen ändert, wenn man sich so sehr verschätzt, dass man Wetten mit einem negativen Erwartungswert eingeht.

Der zweite Grund ist, dass die Kelly-Formel zur reinen Ertragsoptimierung gedacht ist. Dabei darf durchaus eine extreme Volatilität auftreten. Ich weiß, es sagt sich leicht, dass das ok ist, wenn dafür der langfristige Ertrag maximiert wird. Theoretisch stimmt das auch. Aber in der Praxis wird wohl auch der logischste Mensch des Universums gelegentlich unschöne Gefühle bekommen, wenn er 41% seines Vermögens verliert.

Und drittens kann es ja auch sein, dass man gleichzeitig 10 Investmentmöglichkeiten hat, für die Kelly einen Anteil von 41% des Vermögens empfiehlt. Sollte man jetzt nur in zwei oder drei investieren, weil das Geld nicht reicht? Natürlich nicht, denn die Ertragschancen verringert man mit mehr Investments nicht, wenn diese den gleichen Erwartungswert haben. Gleichzeitig kann man aber die Volatilität stark verringern!

Sinn könnte es auch machen, sich beispielsweise auf eine überschaubare Zahl von Investments zu beschränken (z.B. 5, 10 oder 20). Sein Geld teilt man dann auf die 5, 10 oder 20 besten Investments auf, die Gewichtung orientiert man an der Kelly-Formel. Beispielsweise so:

empfohlener Anteil Kelly Kelly-Anteil / 207%
= Depotanteil
Investment 1 76% 37%
Investment 2 45% 22%
Investment 3 38% 18%
Investment 4 27% 13%
Investment 5 21% 10%
gesamt 207% 100%

Sich sklavisch an die Kelly-Formel zu halten, halte ich als Investor also für keine gute Idee. Sich bei der Bestimmung einer sinnvollen Positionsgröße von der Kelly-Formel inspirieren zu lassen, dagegen schon. Wenn die Verlustchancen gering und die Gewinnchancen groß sind, dann setze einen großen Betrag! Was uns Buffett immer wieder predigt und der logische Menschenverstand sagt, lässt sich auch mathematisch quantifizieren. Auch Investments mit großen Verlustrisiken oder nur moderaten Gewinnchancen können gut sein, solange die Gewinnchancen die Verlustrisiken überwiegen. Aber dann sollte man einen entsprechend kleineren Betrag setzen…

Mehr als zwei Szenarien: jetzt wirds kompliziert

Als ich auf das Kelly-Kriterium gestoßen bin, war ich sofort begeistert und wollte loslegen, mit einigen Beispielrechnungen. Aber leider lassen sich die meisten Investments nicht näherungsweise auf zwei mögliche Szenarien beschränken. Was ist, wenn ich berechnen will, wie viel ich in Einhell investieren sollte? Hier könnte man vielleicht folgende Szenarien annehmen:

  • mittelfristige Insolvenz, Wert: 0€, Wahrscheinlichkeit: 4%
  • eher pessimistisches Szenario, Wert: 20€, Wahrscheinlichkeit: 20%
  • Best Guess, Wert: 40€, Wahrscheinlichkeit: 60%
  • optimistisches Szenario, Wert: 50€, Wahrscheinlichkeit: 16%

Im Mittel ergibt das 0€*0,04 + 20€*0,2 + 40€*0,6 + 50€*0,16 = 36,50€
Bei einem Kurs von 30€ ein gutes Investment.

Aber wie soll man diese 4 Szenarien mit der oben genannten Kelly-Formel zusammenbringen? Das ist leider nicht möglich. Mit zunehmender Anzahl möglicher Szenarien wird die Kelly-Formel extrem komplex und lässt sich nicht mehr allgemein darstellen. Aber für komplexe mathematische Probleme gibt es ja heutzutage Hilfsmittel. Leider scheint es über die Fähigkeiten der meisten zu gehen, einen Rechner zu programmieren, der mehr als zwei Szenarien verarbeiten kann und ich musste eine ganze Weile danach suchen. Aber ich bin fündig geworden:

http://elem.com/~btilly/kelly_criterion/betting-returns2.html

Zugegebenermaßen braucht man ein wenig, bis man dahintersteigt, was man jetzt wo eintragen muss, um das Einhell-Beispiel zu berechnen. Also fangen wir an:

  • wir haben 4 Szenarien, also 4 oben bei Number of possibilities eintragen
  • Odds: hier tragen wir die Wahrscheinlichkeit für jedes Szenario ein. Die Größe der einzelnen Zahlen ist dabei egal, Hauptsache das Verhältnis der einzelnen Wahrscheinlichkeiten stimmt. Für Einhell tragen wir 4, 20, 60 und 16 ein (2, 10, 30 und 8 würde das gleiche Ergebnis bringen)
  • Winnings: hier kommt für jedes Szenario rein, welchen Anteil unseres Geldes wir zurückbekommen. Also beispielsweise 0 für einen Totalverlust, 0.5 für 50% Verlust, 1 bei weder Gewinn noch Verlust, oder 3 wenn wir unser Investment verdreifachen. In unserem Beispiel bei einem Kurs von 30€: 0, 0.66, 1.33, 1.66 (Punkt als Dezimaltrenner!)
  • Zum Schluss machen wir noch einen Haken bei Automatically optimize allocations und belassen die erscheinende Auswahl bei Long term returns (Kelly)

Nun auf calculate klicken und im blauen Kästchen erscheint bei Portion Bet das Ergebnis:

71,8% in diesem Fall.
Auch hier gilt natürlich wieder: In der Realität sollte man eher deutlich weniger bieten. Aber interessant ist zumindest folgender Zusammenhang: wenn Kelly mir empfiehlt, 71% auf Einhell zu setzen und 41% auf China Specialty Glass, dann macht es Sinn auf Einhell zumindest knapp doppelt so viel zu setzen wie auf China Specialty Glass. Wenn man z.B. 1/4 des Kelly-Betrages setzt, dann wären das 18% des Depots für Einhell und 10% auf CSG. Ich mit meinem ultra-konservativen (hust) Depot habe noch einiges weniger gesetzt. Aber die Größenordnung des Verhältnisses stimmt zumindest etwa. Da bin ich beruhigt, denn ich habe es vorher nicht ausgerechnet…

Zusammenfassung und Fazit

Es ist zugegebenermaßen schwierig, die nötigen Wahrscheinlichkeiten für das Kelly-Kriterium zu bestimmen. Aber das ist Value Investing: welche Fälle könnten eintreten, wie wahrscheinlich ist das und was ist ein Unternehmen jeweils wert. Präzise Zahlen bestimmen kann hier niemand. Aber eine Abschätzung muss man vornehmen, sonst hat man keine Chance herauszufinden, ob ein Investment gut oder schlecht ist.

Unabhängig davon, dass das Kelly-Kriterium dabei helfen kann, sinnvolle Positionsgrößen zu bestimmen, hat es einen weiteren unschätzbaren Vorteil. Man wird nämlich gezwungen, über wahrscheinliche und weniger wahrscheinliche Szenarien nachzudenken. Allzu oft machen Investoren (auch ich) den Fehler, nur an den wahrscheinlichsten Fall zu denken. Auch wenn man ein Unternehmen für diesen Fall exakt bewertet, kann man aber drastisch danebenliegen mit der Einschätzung, ob das Investment gut oder schlecht ist. Der wahrscheinlichste Fall mag mit 60, 70 oder 80% Wahrscheinlichkeit eintreten. Aber was wenn nicht? Macht man dann noch größere Gewinne? 10% Verlust? Oder gar einen Totalverlust? Eine Frage die man nicht vernachlässigen darf!

Ansonsten sollte man das Kelly-Kriterium mit Vorsicht genießen. Die Zahlen die das Kriterium ausspuckt, würde ich eher als Hinweis für die sinnvolle Gewichtung verschiedener Investments sehen sowie als absolute Obergrenze, wie viel man investieren sollte. Gelegentlich mit dem genannten Kelly-Rechner herumzuspielen, kann nichts schaden. Plant man beispielsweise, 20% in eine Aktie zu stecken, Kelly empfiehlt aber 10%, sollte man nochmal stark darüber nachdenken, ob man nicht einen Fehler macht…

zum weiterlesen

  • eine gute Seite mit noch einigermaßen verständlichen Erklärungen gibt es auch (ich habs zumindest weitestgehend verstanden, 6 Jahre Ingenieurstudium waren also doch nicht ganz umsonst)
  • im Buch Dhando Investor von Mohnish Pabrai gibt es ein Kapitel zum Kelly-Kriterium und seiner Anwendung als Value Investor. Hier sind die mathematischen Hintergründe weitestgehend ausgeblendet und der Fokus liegt auf der Anwendung

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Kommentare [5]

  1. — Alex · 22. Juli 2013, 10:57 · #

    Gleich mal ein Versuch:

    Dell Chase
    (Odds | Winning)

    1. Alles geht den Bach runter
    (2 | 0,2)

    2. Michael Dell kauft für 13,65$
    (30 | 1,018)

    3. Icahn Buyback 14,00$ + Warrant 1$
    (42 | 1,12)

    4. Icahn Buybak + negativer schwarzer Schwan (z.B. Kursrückgang trotz Buyback)
    (26 | 0,9)

    Portion Bet= 0.473

    Der größte nutzen an der Sache ist, dass man sich verschiedene Fälle vor sein geistiges Auge führt

  2. — Roger · 22. Juli 2013, 15:13 · #

    Ich weiß nicht, ob sich das Kelly-Kriterium so wie dargesellt auf mehrere Investments verteilen lässt.
    Wenn ich es richtig erinnere, bezog es sich auf eine Wette mit gewissen Wahrscheinlichkeiten, die mehrfach HINTEREINANDER, nicht parallel, durchgeführt werden konnte. Und sie wies darauf hin, dass es sowohl schlecht sei, sein ganzes Geld in diese Wette zu stecken (aka in die Wette “Aktienmarkt” zu stecken), weil man im Fehlschlag “nackt” dasteht.
    Es sei aber auch suboptimal, zu wenig Geld zu riskieren, weil es sich nicht lohnt.

    Ich sehe es also eher als Ansatz für die Überlegung, wie viel vom Vermögen grundsätzlich in Spekulationen z.B. an der Börse eingesetzt werden kann und wie viel Cash in Reserve gehalten werden sollte. Mit einer Komplettaufteilung auf mehrere Positionen wird das grundsätzliche Risiko Börse (Morgen Crash?) eben nicht berücksichtigt.

  3. Stefan Mohr · 23. Juli 2013, 09:31 · #

    Roger:
    Du hast recht. Wenn man das Kelly-Kriterium anwendet, muss man genaugenommen den Depotanteil für eine Wette berechnen und den Rest Cash halten. Eine Wette muss dabei nicht ein Investment sein, sondern kann auch die Kombination mehrerer sein. Allerdings müsste man dann erst die Eintrittswahrscheinlichkeiten und Gewinne/Verluste kombinieren und dann das Kelly-Kriterium anwenden. Sowas in der Art: Aktie A Totalverlust, B verdoppelt sich = 5% Chance, A verdreifacht, B Totalverlust = 10% Chance usw. In der Regel dürfte das Kelly-Kriterium dann allerdings empfehlen, 100% oder nahezu 100% zu setzen, da es extrem unwahrscheinlich ist, mit einem halbwegs diversifizierten Depot dauerhaft sehr viel zu verlieren (solange man nur auf gute Investments setzt!).

    Ich bin derzeit noch dabei etwas hinter die mathematischen Herleitungen der Kelly-Formel zu kommen und ein paar Berechnungen vorzunehmen. Vielleicht finde ich noch etwas heraus bezüglich mehrerer parallel laufender Wetten… Falls ja kommt vielleicht noch mal ein Folgeartikel!

    Um ehrlich zu sein, bin ich allerdings skeptisch, dass einem das als Investor etwas bringt. Erfahrungsgemäß bringt leider alles was mathematisch kompliziert wird beim investieren keinen Mehrwert…

    Die wichtigste Aussage der Kelly-Formel für einen Investor dürfte eher qualitativ sein: schätze Chancen und Risiken eines Investments, und setze viel, wenn die Chancen die Risiken deutlich überwiegen.

  4. — KF · 23. Juli 2013, 18:02 · #

    Wenn man eine Gewinnchance von >50% hat (und warum sollten wir sonst investieren?) dann macht es Sinn die maximal mögliche Anzahl an Wetten einzugehen, weil sich dann das Endergebnis den reellen Gewinnchancen maximal annähert. In der Realität geben beim Kauf von Aktien also eher die Gebühren die sinnvolle Positionsgröße vor.
    Am Einfachsten kann man das denke ich beim Roulette sehen, die Bank hat nur eine geringfügig höhere Chance zu gewinnen durch die Null, aber das reicht um langfristig dicke Gewinne einzustreichen wenn genug Spiele durchgeführt werden. Bei wenigen Spielen kann man (oder die Bank) dagegen auch mal verlieren.

  5. Robert Michel · 23. Juli 2013, 19:14 · #

    Ich habe das Kelly-Kriterium eher so verstanden, dass es einem sagt wie viel Cash man halten soll. Also ob es Sinn macht eine Taktische Reserve zu halten und wie groß diese sein soll. Die ganzen akademischen Finanzmarktforscher gehen natürlich von effizienten Märkten aus, so dass es so etwas wie unterschiedlich gute Aktien es in ihrer Welt gar nicht gibt. Daher hat sich Kelly wahrscheinlich auch nie mit der Frage beschäftigt, wie man unterschiedliche Wertpapiere der gleichen Asset-Klasse gewichten soll.

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