Zinseszinsrechnung im Kopf - leichter als es scheint

9. Januar 2012 -   -  Stefan Mohr

Heute möchte ich mal ein Thema kurz anschneiden, welches nur entfernt etwas mit Aktien zu tun hat. Und zwar geht es um Mathematik, genauer um Kopfrechnen. Ich weiß, 90% der Leser steigen hier aus, den Verbliebenen verrate ich, worum es genau geht:

Wenn ich mein Kapital in X Jahren verdoppeln möchte, wie hoch muss dann der jährliche Zinssatz sein, damit ich dieses Ziel erreiche? Eine Frage, die sich wohl jeder Investor schon gestellt hat. Und wie das eben so ist, gerade wenn man sich die Frage stellt, hat man keinen Taschenrechner, PC oder ähnliches da, um das mal eben zu berechnen. Also bleibt nur Kopfrechnen! Aber diese Aufgabe im Kopf zu lösen, scheint auf den ersten Blick sehr komplex. Folgende Formel müsste man dazu lösen:

Formel für nötigen Zinssatz zum verdoppeln des Kapitals nach N Jahren

z ist dabei der benötigte jährliche Zinssatz, N die Anzahl der Jahre, nach der sich das Kapital verdoppelt hat.

Die N-te Wurzel aus 2 im Kopf zu berechnen, daran werden wohl die meisten (auch ich) scheitern. Aber es gibt eine einfache Näherungsformel! Sie lautet:

z = 72 / N

Ich muss zugeben, dass ich diese Näherungsformel nicht selbst erfunden habe, ihr werdet sie sicher auch an anderen Stellen finden. Aber sie funktioniert für die meisten Zinssätze erstaunlich gut! Und sie lässt sich auch prima umstellen, wenn man N statt z sucht, also wissen will, nach wie vielen Jahren sich das Kapital verdoppelt, wenn man einen bestimmten Zinssatz erzielen kann.

Rechnen wir mal schnell ein paar Beispiele durch, ob das Ganze wirklich funktioniert:

N 1 2 3 5 10 15 20 30
exakt 100,00% 41,42% 25,99% 14,87% 7,18% 4,73% 3,53% 2,34%
Näherung 72,00% 36,00% 24,00% 14,40% 7,20% 4,80% 3,60% 2,40%

Bei Zinssätzen bis etwa 20% p.a. bzw. einer Zeit über 3 Jahren zur Kapitalverdopplung funktioniert das Ganze also sehr gut, darüber werden die Ergebnisse zunehmend ungenauer. Aber das ist sicherlich zu verschmerzen, wer deutlich über 20% Rendite p.a. erzielen kann, sollte sich einen Taschenrechner gerade so leisten können.

Für Langfristanleger: wann vertausendfacht sich mein Kapital?

Nun kann man das Ganze natürlich noch etwas weitertreiben. Welchen Zinssatz muss ich erzielen, damit ich mein Kapital nach z.B. 40 Jahren vertausendfache?

Das führen wir einfach auf obige Formel, also auf das Verdoppeln zurück. Wie oft muss ich denn mein Kapital verdoppeln, um es zu vertausendfachen? 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 – also ziemlich genau 10 mal. Also habe ich für eine Verdopplung 40 / 10 = 4 Jahre Zeit. Und weiter gehts mit obiger Formel!

72 / 4 = 18

Einen Zinssatz von etwa 18% p.a. muss ich also erzielen, um mein Kapital nach 40 Jahren zu vertausendfachen. Übrigens wäre das exakte Ergebnis 18,85% gewesen. Ziemlich nah dran, und trotzdem einfach im Kopf zu berechnen.

Auch für andere ver-X-fachungen klappt das recht gut: Verzehnfachen bedeutet etwas mehr als 3 mal verdoppen, verhundertfachen knapp 7 mal verdoppeln.

Fazit

Wenn man diese Methode ein wenig geübt hat, ist man nun also in der Lage, mal schnell zu überschlagen, wann man reich sein wird. Egal wo man ist und was man dabei hat, hauptsache man hat seinen Kopf dabei. Der perfekte Zeitvertreib, wenn man an der Kasse steht, beim Arzt wartet oder in einem gähnend langweiligem Meeting sitzt.

Ich wünsche fröhliches Kopfrechnen!

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Kommentare [6]

  1. Heinz · 9. Januar 2012, 11:26 · #

    Toller Tipp!
    Werde die Näherungsformel gleich ausprobieren!

    Wer hat die Formel eigentlich erfunden?

    Gruß, Heinz

  2. Investment-Analyse · 9. Januar 2012, 11:43 · #

    Ich hab keine Ahnung, wer die Formel erfunden hat, ich weiß nichtmal mehr wo ich sie her hab.

    Das einzige was ich sagen kann ist, dass ich sie nicht erfunden habe ;)

  3. — Anfänger · 10. Januar 2012, 20:59 · #

    Ich kenn diese Variante, allerdings mit dem Wert 70. Und 70 ergibt sich als Näherungswert von:

    100ln2 = 69.3

    Dazu gibt’s ein interessantes Video:
    http://www.youtube.com/watch?v=umFnrvcS6AQ

  4. — Anfänger · 11. Januar 2012, 09:25 · #

    Nachtrag: Warum 72 und nicht 70


    Where did the rule of 72 come from? If your yearly interest rate is x%, then the number of years n it takes your money to double is found from:

    (1+(x/100))n = 2
    n ln( 1 + x/100 ) = n x/100 = ln 2
    n x = 100 ln 2 = 69.3

    It seems at a glance that it should be the rule of 69.3, not the rule of 72. However, our formula is off by a little bit. It’s not precisely true that ln(1+a) = a, this is just an approximation. The error is about 2.5% when the interest rate is 5%, and it’s about 5% when the interest rate is 10%. We compromise and fix the formula to be correct at an interest rate of 8%, which increases the 69.2 to about 72. 72 has the added benefit of being divisible by 12. That’s it, that’s what Einstein figured out.

    Quelle: http://investing.calsci.com/interest2.html

  5. Investment-Analyse · 11. Januar 2012, 11:38 · #

    Danke für die Ergänzung Anfänger!

    In der Tat liefert die 72 über 5% die besseren Ergebnisse als die 70. Bei recht hohen Zinssätzen müsste man eigentlich einen noch höheren Wert wählen, um optimale Ergebnisse zu bekommen.

    Aber die 72 lässt sich eben durch sehr viele Zahlen leicht teilen, was eigentlich der entscheidende Vorteil ist.

    Ganzzahlig durch 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36 und 72.
    Und auch das Teilen durch 5, 10 oder 20 sollte keine große Hürde darstellen.

    In so fern ist die 72 vermutlich wirklich der beste Kompromiss.

  6. — Vorname · 14. Januar 2012, 10:11 · #

    Hallo,

    das ganze ist bekannt unter “Rule of 72”.
    Dazu gibt es einen Wikipedia Artikel.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72
    In der deutschen Version ist die Herleitung ganz gut beschrieben.
    Wirklich interessant sind eigentlich die Folgen der Verdoppelung bzw. die Limitierung, die einem zu denken geben sollte. Dazu ist der YouTube Link von Anfänger ein muss!

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